สูตรคอมพิวเตอร์ใหม่ สมการเก่าแก่หลายศตวรรษ

สูตรคอมพิวเตอร์ใหม่

สูตรคอมพิวเตอร์ใหม่ เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์ได้พยายามทำความเข้าใจและจำลองการเคลื่อนที่ของของไหล สมการที่อธิบายว่าระลอกคลื่นบนพื้นผิวของสระน้ำช่วยให้นักวิจัยคาดการณ์สภาพอากาศ ออกแบบเครื่องบินได้ดีขึ้น และระบุลักษณะการไหลเวียนของเลือดผ่านระบบไหลเวียนโลหิตได้อย่างไร สมการเหล่านี้เรียบง่ายอย่างหลอกลวงเมื่อเขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง บางทีสมการที่เก่าแก่ที่สุดและโดดเด่นที่สุดของสมการเหล่านี้ ซึ่งคิดค้นโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เมื่อ 250 กว่าปีที่แล้ว บรรยายถึงการไหลของของไหลในอุดมคติและอัดไม่ได้ นั่นคือของไหลที่ไม่มีความหนืด หรือการเสียดสีภายใน และไม่สามารถบังคับให้เป็นปริมาตรที่เล็กลงได้

 

นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบสมการออยเลอร์ สูตรคอมพิวเตอร์ใหม่

สูตรคอมพิวเตอร์ใหม่ โดยหลักการแล้ว หากคุณทราบตำแหน่ง และความเร็วของแต่ละอนุภาคในของไหล สมการออยเลอร์ก็น่าจะสามารถทำนายได้ว่าของไหลจะวิวัฒนาการไปอย่างไรตลอดเวลา แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบว่าเป็นเช่นนั้นจริงหรือไม่ 

บางทีในบางสถานการณ์ สมการจะดำเนินการตามที่คาดไว้ โดยให้ค่าสถานะของของไหลในช่วงเวลาใดก็ตามที่แม่นยำ มีเพียงค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้นที่จะพุ่งสูงขึ้นไปสู่อนันต์อย่างกะทันหัน เมื่อถึงจุดนั้น กล่าวกันว่าสมการของออยเลอร์ทำให้เกิด “ภาวะเอกฐาน” หรือที่เรียกอีกอย่างว่า “ระเบิดขึ้น” อย่างน่าทึ่ง

เมื่อถึงภาวะเอกฐานแล้ว สมการต่างๆ จะไม่สามารถคำนวณการไหลของของไหลได้อีกต่อไป แต่ “เมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมา สิ่งที่ผู้คนสามารถทำได้นั้นยังห่างไกลจาก การพิสูจน์ว่าระเบิดมาก” ชาร์ลี เฟฟเฟอร์แมนนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน กล่าว

การย้ายไปยังดินแดนที่คล้ายกันในตนเอง

Hou ซึ่งภายหลังเข้าร่วมโดย Chen ได้ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อวิเคราะห์อย่างใกล้ชิด วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณจากปี 2013 ดูเหมือนจะมีโครงสร้างพิเศษ เมื่อสมการพัฒนาไปตามกาลเวลา วิธีแก้ปัญหาก็แสดงสิ่งที่เรียกว่ารูปแบบที่คล้ายกันในตัวเอง รูปร่างของมันในเวลาต่อมาดูคล้ายกับรูปร่างก่อนหน้านี้มาก เพียงแต่ปรับขนาดใหม่ในลักษณะเฉพาะเท่านั้น

ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์จึงไม่จำเป็นต้องพยายามพิจารณาเอกภาวะเพียงอย่างเดียว แต่พวกเขาสามารถศึกษามันโดยอ้อมโดยมุ่งเน้นไปที่จุดก่อนหน้าของเวลา ด้วยการซูมเข้าในส่วนของโซลูชันในอัตราที่เหมาะสม ซึ่งพิจารณาจากโครงสร้างที่คล้ายกันในตัวเองของโซลูชัน พวกเขาสามารถจำลองสิ่งที่จะเกิดขึ้นในภายหลัง รวมถึงที่เอกภาวะด้วยตัวมันเอง

สูตรคอมพิวเตอร์ใหม่

แนวทางแบบผสมผสาน

ความท้าทายแรกๆ ของพวกเขาคือการหาข้อความที่แน่นอนที่พวกเขาต้องพิสูจน์ พวกเขาต้องการแสดงให้เห็นว่าหากนำชุดค่าใดๆ ที่ใกล้เคียงกับคำตอบโดยประมาณมาเสียบเข้ากับสมการ ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่หลงทางไปไกล แต่การที่อินพุต “ใกล้” กับวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณหมายความว่าอย่างไร พวกเขาต้องระบุสิ่งนี้ในประโยคทางคณิตศาสตร์ แต่มีหลายวิธีในการนิยามแนวคิดเรื่องระยะทางในบริบทนี้ เพื่อให้หลักฐานใช้งานได้ พวกเขาจำเป็นต้องเลือกอันที่ถูกต้อง

“มันจะต้องวัดผลกระทบทางกายภาพที่แตกต่างกัน” Rafael de la Llaveนักคณิตศาสตร์จากสถาบันเทคโนโลยีจอร์เจีย กล่าว “ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเลือกโดยใช้ความเข้าใจอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับปัญหา”

เมื่อพวกเขามีวิธีที่ถูกต้องในการอธิบาย “ความใกล้ชิด” Hou และ Chen จะต้องพิสูจน์ข้อความดังกล่าว ซึ่งรวมไปถึงความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับคำศัพท์จากทั้งสมการที่ปรับขนาดใหม่และวิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณ นักคณิตศาสตร์ต้องแน่ใจว่าค่าของพจน์ทั้งหมดสมดุลกับค่าที่เล็กมาก หากค่าหนึ่งกลายเป็นขนาดใหญ่ ค่าอื่นๆ จะต้องเป็นลบหรือถูกควบคุมไว้

พิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์

ยังคงเปิดกว้างว่าสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการออยเลอร์ที่ไม่มีขอบเขตทรงกระบอกและสมการนาเวียร์-สโตกส์ สามารถพัฒนาภาวะเอกฐานได้หรือไม่ “แต่ [งานนี้] อย่างน้อยก็ทำให้ฉันมีความหวัง” Hou กล่าว “ฉันเห็นหนทางข้างหน้า หนทางที่จะแก้ไขปัญหาสหัสวรรษทั้งมวลได้ในที่สุด”

ในขณะเดียวกัน Buckmaster และ Gómez-Serrano กำลังทำงานเพื่อพิสูจน์หลักฐานของตนเองโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย ซึ่งพวกเขาหวังว่าจะเป็นแบบทั่วไปมากกว่า ดังนั้นจึงสามารถจัดการได้ไม่เพียงแค่ปัญหาที่ Hou และ Chen แก้ไขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคนอื่นๆ อีกจำนวนมากด้วย

ความพยายามเหล่านี้แสดงถึงแนวโน้มที่เพิ่มขึ้นในด้านพลศาสตร์ของไหล การใช้คอมพิวเตอร์เพื่อแก้ไขปัญหาที่สำคัญ แต่ในกลศาสตร์ของไหล การพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยยังคงเป็นเทคนิคที่ค่อนข้างใหม่ ในความเป็นจริง เมื่อพูดถึงข้อความเกี่ยวกับการก่อตัวของภาวะเอกฐาน การพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก่อนหน้านี้สามารถจัดการกับปัญหาของเล่นในพื้นที่เท่านั้น

เรื่องของรสนิยม

Peter Constantin  จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน กล่าว โดยทั่วไปนักคณิตศาสตร์ยอมรับว่าการพิสูจน์จะต้องโน้มน้าวนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ว่าการให้เหตุผลบางบรรทัดนั้นถูกต้อง แต่หลายคนแย้งว่าควรปรับปรุงความเข้าใจด้วยว่าเหตุใดข้อความใดข้อความหนึ่งจึงเป็นความจริง แทนที่จะเพียงแต่ให้การตรวจสอบความถูกต้องว่าข้อความนั้นถูกต้อง “เราเรียนรู้อะไรใหม่ ๆ โดยพื้นฐานหรือเราแค่รู้คำตอบของคำถามนี้” เอลจินดีกล่าวว่า “ถ้าคุณมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะ นี่ก็ไม่น่าพึงพอใจนัก”

“คอมพิวเตอร์สามารถช่วยได้ มันวิเศษมาก มันทำให้ฉันเข้าใจ แต่มันไม่ได้ทำให้ฉันเข้าใจได้ทั้งหมด” คอนสแตนตินกล่าวเสริม “ความเข้าใจมาจากเรา” ในส่วนของเขา Elgindi ยังคงหวังที่จะหาหลักฐานอื่นเกี่ยวกับการระเบิดด้วยมือทั้งหมด “โดยรวมแล้วผมมีความสุขที่สิ่งนี้มีอยู่” เขากล่าวถึงงานของ Hou และ Chen “แต่ฉันมองว่ามันเป็นแรงจูงใจมากกว่าที่จะพยายามทำมันด้วยวิธีที่ไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์น้อยลง”

สรุป 

นักคณิตศาสตร์พยายามและจำลองการเคลื่อนที่ของของไหล เช่นสมการที่อธิบายรูปแบบระลอกคลื่นบนพื้นผิวของสระน้ำเพื่อคาดการณ์สภาพอากาศ การออกแบบเครื่องบินที่ดีขึ้น และการระบุลักษณะการไหลเวียนของเลือดผ่านระบบไหลเวียนโลหิต สมการเหล่านี้มักถูกบรรยายอย่างเรียบง่าย แต่มีความซับซ้อนเมื่อเขียนในภาษาคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง บางสมการเก่าๆ ที่โดดเด่นอย่างมาก 


ขอบคุณแหล่งที่มา : wired.com/story/a-new-computer-proof-blows-up-centuries-old-fluid-equations/

ภาพจาก : wired.com

 

ติดตามข่าวสารได้ที่ mydeedees.com

บทความอื่นที่น่าสนใจ หรือ เกมส์น่าสนใจ

องค์กรยุคใหม่

องค์กรยุคใหม่ จำเป็นต้องประมวลผลและวิเคราะห์ข้อมูลที่พวกเขาสร้างขึ้นแบบเรียลไทม์

องค์กรต่างๆ ต่างก็ผลิตข้อมูลจำนวนมากมายเหลือเฟือ ศักยภา […]

Read More
ฟังก์ชันบริการทางการเงิน

ฟังก์ชันบริการทางการเงิน ที่พัฒนาโดยระบบ AI

ด้วยบัตรชำระเงิน 2.5 พันล้านใบที่ใช้ในกว่า 200 ประเทศแล […]

Read More
การสร้างแพลตฟอร์ม

การสร้างแพลตฟอร์ม ระดับโลกสำหรับวิศวกรซอฟต์แวร์

วิศวกรซอฟต์แวร์และความสามารถในการส่งมอบมีความสำคัญต่อคว […]

Read More